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Il test esatto di Fisher è un test per la verifica d’ipotesi
utilizzato nell’ambito della statistica non parametrica
in situazioni con due variabili nominali e campioni piccoli.
Porta il nome del suo ideatore Ronald Fisher.

Questo test non parametrico è usato per verificare
se i dati dicotomici di due campioni
riassunti in una tabella di contingenza 2×2
siano compatibili con l’ipotesi nulla (H₀)
che le popolazioni di origine dei due campioni
abbiano la stessa suddivisione dicotomica
e che le differenze osservate con i dati campionari siano
dovute semplicemente al caso.

Se i campioni sono sufficientemente grandi (e nessuna cella ha un valore inferiore a 5)
allora si può usare il test chi quadrato con 1 grado di libertà.
Mentre quest’ultimo test è esatto solo asintoticamente per dimensioni molto grandi dei campioni,
il presente test proposto da Fisher è, come dice il nome, sempre esatto.

Il test esatto di Fisher richiede di avere due variabili nominali divisie ciascuna in due sole categorie.
P.es. la prima variabile potrebbe essere il “sesso” con le due categorie “donna” e “uomo” e la seconda variabile
potrebbe essere “segue un dieta” con le due categorie “si” e “no”.
Si ipotizza in questo caso che la percentuale di uomini che segue una dieta sia uguale alla percentuale tra le donne.
I dati potrebbero essere i seguenti:

	uomini	donne	totale
in dieta	1	9	10
non in dieta	11	3	14
totale	12	12	24

Questi dati non sono idonei ad essere analizzati con il test chi quadrato
in quanto il valore atteso è in alcune celle al limite (5 secondo gli uni, 10 secondo altri).

Per descrivere il test di Fisher è utile introdurre la seguente notazione,
nella quale le lettere
a, b, c e d indicano i valori nelle celle e n è la somma totale.
La tabella di contingenza verrebbe descritta così:

	uomini	donne	totale
in dieta	a	b	a+b
non in dieta	c	d	c+d
totale	a+c	b+d	n

Ronald Fisher dimostrò
che la probabilità di ottenere
tali valori (vincolati alle somme di riga e colonna realmente osservati)
segue la variabile casuale ipergeometrica ed è pari a:

<math> p = {\frac {(a+b)!(c+d)!(a+c)!(b+d)!}{n!a!b!c!d!}}</math>

Questa formula da le probabilità esatte di osservare i valori a, b, c, d (dati a+b, a+c, c+d, b+d)
qual’ora fosse vera l’ipotesi nulla sopra enunciata.

Per verificare se i valori osservati sono eccessivamente diversi da quanto previsto dall’ipotesi nulla,
si sommano le propabilità di quanto esservato e di tutti i casi ancora più estremi. Nel nostro esempio
l’unico caso ancora più estremo è dato da:

	uomini	donne	totale
in dieta	0	10	10
non in dieta	12	2	14
totals	12	12	24

Per la prima tabella la probabilità è

<math> p_1 = {\frac {10!14!12!12!}{24!1!9!11!3!}} = 0.00135</math>

mentre per la seconda

<math> p_0 = {\frac {10!14!12!12!}{24!0!10!12!2!}} = 0.00003</math>

sommando si ottiene:

p = p₀ + p₁ = 0,00138 = 0,14%

il chè vuol dire che

se

l’ipotesi nulla è vera

allora

solo in 14 esperimenti su 10.000 si otterrebbero valori così discordanti tra uomini e donne.

Essendo il calcolo spesso molto laborioso, si ricorre solitamente a tavole con i valori già
precalcolati oppure al calcolatore, per esempio usando software applicativi per la statistica.

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